Почему компьютер запускается через некоторое время после нажатия на кнопку включения  - от нескольких минут до четверти часа.

Как правило, подобная проблема связана  с блоком питания компьютера —  просто замените его на новый, и проблема исчезнет.

«Главным виновником » долгого ожидания включения ПК  являются подсыхающие электролитические конденсаторы. В результате  стало падать напряжение в линии так называемой «дежурки». И, как следствие, после нажатия на кнопку включения несколько минут происходит накопление сил для «первого рывка».

Оставлять в пользовании компьютерный блок питания с подобным дефектом категорически нельзя — Вы попросту спалите   свой компьютер, если БП окончательно испортится.